У прямокутному трикутнику ABC відрізок CD - висота, проведена до гіпотенузи АВ. Знайдіть гострі кути трикутни- ка ABC, якщо відомо, що BD - DA = AC.
Ответы
Ответ:
Позначимо гострі кути трикутника ABC як \( \angle BAC \), \( \angle ABC \) та \( \angle ACB \).
За умовою, \( BD - DA = AC \). Оскільки \( BD \) та \( DA \) - відрізки гіпотенузи, то \( BD = AB - AD \).
Позначимо \( AB = c \), \( AC = x \) та \( BC = y \). Також, за теоремою Піфагора для прямокутних трикутників маємо:
\[ c^2 = x^2 + y^2 \]
Також, оскільки \( CD \) - висота, то \( CD \perp AB \), що означає, що \( \triangle CDA \) та \( \triangle CDB \) подібні.
З подібності трикутників отримуємо наступне співвідношення:
\[ \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD} \]
Тобто:
\[ \frac{x}{c - x} = \frac{c - x}{x} \]
Розв'язавши це рівняння відносно \( x \), отримаємо значення \( x \). Після цього можна використовувати тригонометричні функції для знаходження гострих кутів трикутника ABC.
Зауважте, що оскільки видаєте конкретне рішення, обчислень тут не проводиться. Якщо потрібна конкретна кількісна відповідь, подайте значення \( c \) (довжина гіпотенузи) і вам буде надано відповідь з конкретними значеннями \( x \) та гострих кутів.