1. Объясните, какой смысл придаётся в математике символу аⁿ, где
n - иррациональное число. Рассмотрите каждый из указанных ниже случаев:
a) a > 1;
б) 0 < a < 1;
b) a = 1;
г) a = 0;
д) а < 0.
Ответы
Ответ:
Символ aⁿ, где n - иррациональное число, имеет смысл возведения числа a в степень n. Однако, когда n - иррациональное число, это понятие не определено однозначно и зависит от выбора представления числа n.
a) Если a > 1, то при возведении в степень больше 1 значение функции aⁿ будет увеличиваться. Если n - иррациональное число, например, √2, то aⁿ может быть представлено как a^(m/n), где m - целое число. В этом случае значение aⁿ будет бесконечно большим.
б) Если 0 < a < 1, то при возведении в степень больше 1 значение функции aⁿ будет уменьшаться. Если n - иррациональное число, например, √2, то aⁿ может быть представлено как a^(m/n), где m - целое число. В этом случае значение aⁿ будет бесконечно малым.
в) Если a = 1, то aⁿ всегда равно 1.
г) Если a = 0, то aⁿ всегда равно 0.
д) Если а < 0, то при возведении в степень с четным знаменателем значение функции aⁿ будет положительным, а при возведении в степень с нечетным знаменателем - отрицательным. Если n - иррациональное число, например, √2, то aⁿ может быть представлено как a^(m/n), где m - целое число. В этом случае значение aⁿ будет неопределенным, так как нельзя однозначно определить знак числа a^(m/n).