Диск массой 4 килограмма и радиусом 50 сантиметров, вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Скорость вращения точек расположенных на краю диска равна ѵ = 4 м/с. Вычислите А) момент инерции диска , Б) кинетическую энергию диска
Ответы
Ответ:
А) Момент інерції диска можна знайти за формулою:
�
=
1
2
�
�
2
,
I=
2
1
mr
2
,
де:
�
I - момент інерції,
�
m - маса диска,
�
r - радіус диска.
Підставляючи відомі значення:
�
=
1
2
⋅
4
кг
⋅
(
0.5
м
)
2
=
0.5
кг
⋅
м
2
.
I=
2
1
⋅4 кг⋅(0.5 м)
2
=0.5 кг⋅м
2
.
Б) Кінетична енергія обертового руху диска обчислюється за формулою:
�
=
1
2
�
�
2
,
K=
2
1
Iω
2
,
де:
�
K - кінетична енергія обертового руху,
�
I - момент інерції диска,
�
ω - кутова швидкість.
Для знаходження кутової швидкості
�
ω, враховуючи лінійну швидкість
�
υ на краю диска, використаємо відому формулу:
�
=
�
�
υ=ωr.
Звідси отримуємо:
�
=
�
�
=
4
м/с
0.5
м
=
8
рад/с
.
ω=
r
υ
=
0.5 м
4 м/с
=8 рад/с.
Тепер підставимо значення моменту інерції та кутової швидкості у формулу для кінетичної енергії:
�
=
1
2
⋅
0.5
кг
⋅
м
2
⋅
(
8
рад/с
)
2
=
128
Дж
.
K=
2
1
⋅0.5 кг⋅м
2
⋅(8 рад/с)
2
=128 Дж.
Отже, кінетична енергія диска становить 128 Дж.
Объяснение:
Відповідь:А) Для вычисления момента инерции диска можно использовать следующую формулу для момента инерции кругового диска относительно его центральной оси, перпендикулярной плоскости диска:
\[I = \frac{1}{2} m r^2\]
где:
- \(I\) - момент инерции диска,
- \(m\) - масса диска,
- \(r\) - радиус диска.
В данном случае:
- \(m = 4 \, \text{кг}\) (масса диска),
- \(r = 0.5 \, \text{м}\) (радиус диска).
Подставляя значения в формулу:
\[I = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{кг} \cdot (0.5 \, \text{м})^2\]
\[I = 0.5 \, \text{кг} \cdot 0.25 \, \text{м}^2\]
\[I = 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]
Таким образом, момент инерции диска составляет \(0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\).
Б) Кинетическая энергия вращающегося объекта можно вычислить с помощью следующей формулы:
\[KE = \frac{1}{2} I \omega^2\]
где:
- \(KE\) - кинетическая энергия,
- \(I\) - момент инерции,
- \(\omega\) - угловая скорость.
У нас уже есть значение момента инерции (\(I = 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\)), и мы знаем, что скорость вращения точек на краю диска равна \(4 \, \text{м/с}\).
Чтобы найти угловую скорость \(\omega\), используем следующее соотношение:
\[\omega = \frac{v}{r}\]
где:
- \(\omega\) - угловая скорость,
- \(v\) - линейная скорость (в данном случае, \(4 \, \text{м/с}\)),
- \(r\) - радиус диска (\(0.5 \, \text{м}\)).
Подставим значения:
\[\omega = \frac{4 \, \text{м/с}}{0.5 \, \text{м}}\]
\[\omega = 8 \, \text{рад/с}\]
Теперь, подставим значения \(I\) и \(\omega\) в формулу для кинетической энергии:
\[KE = \frac{1}{2} \cdot 0.125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (8 \, \text{рад/с})^2\]
\[KE = 0.5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 64 \, \text{рад}^2/\text{с}^2\]
\[KE = 32 \, \text{Дж}\]
Таким образом, кинетическая энергия диска составляет \(32 \, \text{Дж}\).
Пояснення: