Question

На продовженнях діагоналі BD прямокутника АВСD відкладено рівні відрізки ВМ і DК. Визначте вид чотирикутника АМСК.

Answer 1

За умовою задачі, діагоналі BD прямокутника АВСD продовжуються на відрізки ВМ і DК, причому відрізки ВМ і DК мають рівні довжини. Оскільки прямокутник має протилежні сторони паралельні і рівні між собою, то діагоналі перетинаються в точці О і ділять один на інший навпіл. Це означає, що точка О є серединою діагоналі BD.

Отже, ВО = OD = CD/2, де CD - діагональ прямокутника. Також, ВМ = DК (за умовою).

Розглянемо трикутники ВМК і АСО. Вони мають спільну сторону ОК, і дві інші сторони ВМ і ДА відповідно паралельні, і отже, кути ВМК і АСО мають однакові значення.

Крім того, сторона КО в трикутнику ВМК дорівнює стороні ОС у трикутнику АСО (спільна діагональ BD ділиться пополам точкою О). Також ВМ = DК, тому ВК дорівнює DC.

Отже, трикутники ВМК і АСО є подібними, і мають однакові кути та співвідношення сторін:

VK / DC = KM / AS = 1/2.

Ми також знаємо, що протилежні сторони прямокутника рівні між собою, тому AS = CD і KM = BM.

Таким чином, ми маємо наступне співвідношення між сторонами чотирикутника АМСК:

AS = CD, KM = BM, VK = DC/2.

Отже, чотирикутник АМСК є трапецією і має дві паралельні сторони, довжини яких дорівнюють протилежним сторонам прямокутника. Інші дві сторони мають рівні довжини, які можна знайти через середину діагоналі BD.

Пошук виду чотирикутника додатковою інформацією не передбачений умовою задачі.