Question

1.Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8.

2. Периметр прямокутника дорівнює 72 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них у 3 рази більша за другу.

3. Бісектриса кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки 3см і 6см, рахуючи від вершини, суміжної з кутом, з якого провели бісектрису. Знайти периметр паралелограма.

4. У ромбі ABCD з вершини тупого кута B проведені висоти ВЕ і ВF до сторін AD і DC відповідно. Кут EBF дорівнює 300. Знайдіть периметр ромба, якщо ВЕ = 6 см.

Answer 1

1. Щоб знайти кути чотирикутника, давайте позначимо їх як A, B, C і D, де кут A відповідає числу 1, кут B - числу 2, кут C - числу 4, а кут D - числу 8. Спільний знаменник для пропорцій - 1. Тоді ми отримаємо:

A : B : C : D = 1 : 2 : 4 : 8

Або, в іншому вигляді, якщо кут A дорівнює x градусів, то:
B = 2x градусів,
C = 4x градусів,
D = 8x градусів.

2. Позначимо сторони прямокутника як "x" і "3x" (оскільки одна сторона у 3 рази більша за іншу). За відомим периметром прямокутника (P) маємо:

P = 2 * (x + 3x) = 2 * 4x = 8x.

Оскільки P дорівнює 72 см, то:

8x = 72,
x = 9.

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 3 * 9 = 27 см.

3. Давайте позначимо бісектрису кута як BC і сторону паралелограма, яку вона ділить, як AB. Ми знаємо, що AB = 3 см і BC = 6 см. Оскільки бісектриса ділить сторону AB на дві частини, то можемо знайти AC:

AC = 2 * 3 см = 6 см.

Тепер можемо знайти сторону CD, яка дорівнює AC:

CD = 6 см.

Периметр паралелограма P дорівнює сумі сторін AB + BC + CD + DA:

P = 3 + 6 + 6 + 3 = 18 см.

4. Оскільки кут EBF дорівнює 30 градусів, то він є тупим кутом, оскільки тупий кут має розмір від 90 до 180 градусів. Тобто, кут B рівний 180 - 30 = 150 градусів.

Тепер ми знаємо, що в ромбі кут B дорівнює 150 градусів. Оскільки сума всіх кутів в ромбі дорівнює 360 градусів, кожен інший кут в ромбі дорівнює (360 - 150) / 3 = 70 градусів.

Тепер, використовуючи відомі кути, ми можемо знайти сторону ромба. Оскільки в ромбі всі сторони однакові, назвемо сторону ромба "a". За правилом синусів:

a / sin(150°) = 6 см / sin(70°).

a / √3/2 = 6 см / √(3 - 1/2).

a / (√3/2) = 6 см / (√(5/2)).

a / (√3/2) = 6 см * (√2/√5).

a / (√3/2) = 12√2 / √5.

a = (12√2 / √5) * (√3/2).

a = 6√6 см.

Оскільки у ромбі всі сторони однакові, периметр ромба дорівнює 4a:

P = 4 * 6√6 см = 24√6 см.