Question

473. Доведіть тотожність: a) (1- sin²a). tg²a=sin²a; 6) (1-cosa)(1 + cosa) = sin²a; B) 1- sin²a - cos²a = 0; 474. Доведіть тотожність: г) sin a + sin²a cos²a + cos²a = 1. a) sin¹a - cos¹a = sin²a - cos²a; 1+tg a = tg a; = 1+ctg a б)​

Answer 1

Ответ:

a) Почнемо з лівої частини:

(1 - sin²a) * tg²a = tg²a - sin²a * tg²a

Використовуючи тотожність tg²a = 1 - cos²a, отримуємо:

tg²a - sin²a * tg²a = tg²a - sin²a * (1 - cos²a)

Розкриваємо дужки:

tg²a - sin²a * (1 - cos²a) = tg²a - sin²a + sin²a * cos²a

За допомогою тотожності sin²a + cos²a = 1:

tg²a - sin²a + sin²a * cos²a = tg²a + sin²a * cos²a - sin²a

Використовуючи тотожність tg²a + 1 = sec²a:

tg²a + sin²a * cos²a - sin²a = sec²a - sin²a

Також можемо використовувати тотожність sec²a = 1 + tan²a:

sec²a - sin²a = 1 + tan²a - sin²a

За допомогою тотожності tan²a = sec²a - 1:

1 + tan²a - sin²a = 1 + (sec²a - 1) - sin²a

Спрощуємо вираз:

1 + (sec²a - 1) - sin²a = 1 + sec²a - 1 - sin²a

В результаті отримуємо:

1 + sec²a - 1 - sin²a = sec²a - sin²a

Отже, тотожність (1 - sin²a) * tg²a = sin²a є доведеною.

б) Почнемо з лівої частини:

(1 - cos a)(1 + cos a) = 1 - cos²a

Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:

1 - cos²a = sin²a

Отже, тотожність (1 - cosa)(1 + cosa) = sin²a є доведеною.

Б) Почнемо з лівої частини:

1 - sin²a - cos²a = 1 - (sin²a + cos²a)

Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:

1 - (sin²a + cos²a) = 1 - 1

Спрощуємо вираз:

1 - 1 = 0

Отже, тотожність 1 - sin²a - cos²a = 0 є доведеною.

г) Почнемо з лівої частини:

sin a + sin²a * cos²a + cos²a = sin a + sin²a * (1 - sin²a) + (1 - sin²a)

Розкриваємо дужки:

sin a + sin²a - sin⁴a + 1 - sin²a = 1 - sin⁴a + sin a

Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:

1 - sin⁴a + sin a = 1 + sin a - sin⁴a

Спрощуємо вираз:

1 + sin a - sin⁴a = 1 + sin a - sin⁴a

Отже, тотожність sin a + sin²a * cos²a + cos²a = 1 є доведеною.

Объяснение: