Question

Два велосипедиста-Петя и Вася-ездят по круг.дорожке 600 метров.Петя и Вая едут по дорожке в одном направлении с постоянными скоростями.Петя обогнал Васю в 11:04,а в следующий раз-в 11:12. Какое расстояние (по дорожке) было между Петей и Васей в 11:02. Укажите меньшее из двух чисел,ответ выразите в метрах

Answer 1

Давайте обозначим скорость Пети как \(V_P\) (в м/мин), а скорость Васи как \(V_V\) (в м/мин). Так как они двигаются по круговой дорожке, их скорости в метрах в минуту будут равны длине круговой дорожки, которая составляет 600 метров, поделенной на время, которое им потребуется на один круг.

\(V_P = \frac{600}{T_P}\), где \(T_P\) - время в минутах, за которое Петя проезжает один круг.
\(V_V = \frac{600}{T_V}\), где \(T_V\) - время в минутах, за которое Вася проезжает один круг.

Мы знаем, что Петя обогнал Васю в 11:04, а затем в следующий раз в 11:12. Это означает, что разница во времени между их обгона будет 8 минут.

Так как Петя обогнал Васю за один круг, разница во времени обгона в минутах будет равна разнице времен \(T_P\) и \(T_V\):

\(T_P - T_V = 8\).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(V_P = \frac{600}{T_P}\)
2. \(V_V = \frac{600}{T_V}\)

И у нас есть уравнение относительно разницы времен:

3. \(T_P - T_V = 8\)

Мы можем решить эту систему уравнений для \(T_P\) и \(T_V\), а затем найти расстояние между ними в 11:02 (2 минуты до первого обгона). Сначала найдем \(T_P\) и \(T_V\):

Сложим уравнения 1 и 2, чтобы избавиться от \(V_P\) и \(V_V\):

\(\frac{600}{T_P} + \frac{600}{T_V} = 2 \cdot \frac{600}{T_P + T_V}\)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. \(\frac{600}{T_P} + \frac{600}{T_V} = \frac{1200}{T_P + T_V}\)
2. \(T_P - T_V = 8\)

Решим эту систему уравнений. Для начала найдем \(T_P + T_V\) из уравнения 2:

\(T_P + T_V = 8\)

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение 1:

\(\frac{600}{T_P} + \frac{600}{T_V} = \frac{1200}{8}\)

\(\frac{600}{T_P} + \frac{600}{T_V} = 150\)

Теперь мы можем решить это уравнение для \(T_P\) и \(T_V\). Давайте умножим обе стороны на \(T_P \cdot T_V\) (предположим, что \(T_P\) и \(T_V\) положительные):

\[600 \cdot T_V + 600 \cdot T_P = 150 \cdot T_P \cdot T_V\]

\[150 \cdot T_P \cdot T_V - 600 \cdot T_P - 600 \cdot T_V = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(T_P\):

\[150 \cdot T_P^2 - 600 \cdot T_P - 600 \cdot T_V = 0\]

Так как \(T_V\) - это время, за которое Вася проезжает один круг, это будет кратное времени Пети, таким образом, \(T_V = k \cdot T_P\) для некоторого целого \(k\).

Подставим это значение в уравнение:

\[150 \cdot T_P^2 - 600 \cdot T_P - 600 \cdot k \cdot T_P = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для \(T_P\):

\[150 \cdot T_P^2 - 600 \cdot (1 + k) \cdot T_P = 0\]

Решение этого уравнения даст нам значения \(T_P\) и \(T_V\).

Теперь, зная \(T_P\) и \(T_V\), мы можем найти расстояние между Петей и Васей в 11:02 (2 минуты до первого обгона):

\[2 \cdot V_P \cdot 2 = 2 \cdot \frac{600}{T_P} \cdot 2\]

Следовательно, меньшее из двух чисел будет \(2 \cdot \frac{600}{T_P}\), и это будет расстоянием в метрах.