Ответы
Ответ:
Для нахождения первообразной функции \(F(x)\) для данной функции \(f(x)\), вам нужно проинтегрировать \(f(x)\) относительно \(x\). Вот, как это можно сделать:
\[F(x) = \int \frac{8x - 3}{\sqrt{8x + 1} + 2} \, dx\]
Для упрощения интеграла можно воспользоваться методом подстановки. Давайте проведем подстановку:
Пусть \(u = \sqrt{8x + 1} + 2\). Тогда \(du = \frac{8}{2\sqrt{8x + 1}} \, dx = \frac{4}{\sqrt{8x + 1}} \, dx\).
Теперь мы можем переписать интеграл:
\[F(x) = \int \frac{8x - 3}{u} \cdot \frac{\sqrt{8x + 1}}{4} \, du\]
\[F(x) = \frac{1}{4} \int \frac{2(4x - 3)}{u} \, du\]
Теперь проинтегрируем относительно \(u\):
\[F(x) = \frac{1}{4} \int \frac{8x - 6}{u} \, du\]
\[F(x) = \frac{1}{4} \left(8x\ln|u| - 6\ln|u|\right) + C\]
Теперь, вернемся к переменной \(x\), используя \(u = \sqrt{8x + 1} + 2\):
\[F(x) = \frac{1}{4} \left(8x\ln|\sqrt{8x + 1} + 2| - 6\ln|\sqrt{8x + 1} + 2|\right) + C\]
\[F(x) = \frac{1}{4} \left(2x\ln|\sqrt{8x + 1} + 2| - 3\ln|\sqrt{8x + 1} + 2|\right) + C\]
Это - общий вид первообразных для функции \(f(x)\). \(C\) - произвольная постоянная, которая появляется при интегрировании.