Question

2x+y+z=7
x-y+z=2
3x+2y-z=4
Метод крамера

Answer 1

Метод Крамера - це метод розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою визначників. Для системи рівнянь:

\[ \begin{align*}
2x + y + z &= 7 \\
x - y + z &= 2 \\
3x + 2y - z &= 4 \\
\end{align*} \]

Спочатку знаходимо визначник основної матриці \(D\):

\[ D = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
3 & 2 & -1 \\
\end{vmatrix} \]

Розраховуємо визначник \(D\):

\[ D = 2((-1)(-1) - (2)(1)) - 1((1)(-1) - (3)(1)) + 1((1)(2) - (3)(-1)) \]
\[ D = 2(0 - 2) + 1(-1 - 3) + 1(2 + 3) \]
\[ D = 2(-2) - 1(-4) + 1(5) \]
\[ D = -4 + 4 + 5 = 5 \]

Тепер розраховуємо визначники \(D_x\), \(D_y\), і \(D_z\), замінюючи стовпчики основної матриці відповідно на стовпчики вільних членів:

\[ D_x = \begin{vmatrix}
7 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
4 & 2 & -1 \\
\end{vmatrix} = 5 \]

\[ D_y = \begin{vmatrix}
2 & 7 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 4 & -1 \\
\end{vmatrix} = -10 \]

\[ D_z = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 7 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 2 & 4 \\
\end{vmatrix} = -5 \]

За формулами Крамера, розв'язки \(x\), \(y\), і \(z\) обчислюються як:

\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{5}{5} = 1 \]

\[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{5} = -2 \]

\[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Отже, розв'язок системи рівнянь за методом Крамера - \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = -1\).