Question

SABC- правильна трикутна піраміда АВ=4/3 см, ЅА=2√7 см. Знайти кут між апофемою і площиною основи піраміди.​

Answer 1

Ответ:

$\alpha =arccos \dfrac{1}{\sqrt{186} }$

Объяснение:

SABC -правильная треугольная пирамида. АВ =4/3 см, SA=2√7 см. Найти угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды.

Пусть SAВС - правильная пирамида.

ΔАВС - правильный, АВ = 4/3 см.

Апофема - это высота боковой грани праильной пирамиды.

Проведем апофему SМ , SМ⊥ АВ.

SО - высота пирамиды. Тогда ∠SМО =α - искомый.

Найдем длину апофемы SМ. Точка М - середина АВ .

$AM =BM = \dfrac{4}{3} :2=\dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{1}{2} =\dfrac{2}{3}$   см.

Рассмотрим Δ АSМ - прямоугольный и применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

SA ² = SM² +AM²

SM² = SA² - AM²

$SM^{2} =(2\sqrt{7} )^{2} -\left(\dfrac{2}{3} \right)^{2} =4\cdot7 -\dfrac{4}{9} =28-\dfrac{4}{9}=\dfrac{28\cdot9-4}{9}=\dfrac{252 -4 }{9}=\dfrac{248}{9} ;\\SM= \sqrt{\dfrac{248}{9} } =\dfrac{\sqrt{248} }{3} =\dfrac{\sqrt{4\cdot62} }{3} =\dfrac{2\sqrt{62} }{3}$

SM =(2√62)/3 cм

Найдем длину ОМ . Так как SО - высота и пирамида правильная, то ОМ - радиус , вписанной в ΔАВС окружности.

Для равностороннего треугольника со стороной а , он определяется по формуле:

$r=\dfrac{a}{2\sqrt{3} }$

$OM =\dfrac{\dfrac{4}{3} }{2\sqrt{3} }=\dfrac{4}{3\cdot 2\sqrt{3} } =\dfrac{2}{3\sqrt{3} }$  см

Рассмотрим ΔSОМ - прямоугольный.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos\alpha =\dfrac{MO}{SM} ;\\\\cos\alpha =\dfrac{2}{3\sqrt{3} } :\dfrac{2\sqrt{62} }{3} =\dfrac{2}{3\sqrt{3} }\cdot\dfrac{3}{2\sqrt{62} }=\dfrac{1}{\sqrt{186} }$

Значит,

$\alpha =arccos \dfrac{1}{\sqrt{186} }$

#SPJ1