Question

допоможіть будь ласка!!! Знайдіть усі функції f : R -> R такі, що для всіх дійсних х та у виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y​

Answer 1

Ответ:

Ця функціональна рівність може бути розв'язана декількома способами, і існує багато функцій, які відповідають цій умові. Однак однією з можливих функцій є:

f(x) = x

Ця функція задовольняє умову f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y для всіх дійсних чисел x та y. Тобто, підставляючи цю функцію в початкове рівняння, отримаємо:

x + y + x² + y² = x + y + x² + y²

Ця функція є одним з можливих розв'язків.

Answer 2

Ответ:

Щоб знайти всі функції f: R -> R, для яких виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y, можемо розглянути різні підстановки для значень x та y.

Замінюємо x на 0:

f(y) + 0 + y² = f(y²) + 0 + y

f(y) + y² = f(y²) + y

Ця рівність повинна виконуватися для будь-якого значення y. Оскільки це має місце для будь-якого y, ми можемо припустити, що f(y) = y - c, де c - довільна константа.

Підставляємо відповідну функцію у вихідне рівняння:

f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y

(x + y - c) + x² + y² = (x² + y² - c) + x + y

Спрощуємо:

2x + 2y - 2c = x + y - c + x + y

2x + 2y - 2c = 2x + 2y - 2c

Отже, функції f: R -> R, для яких виконується рівність f(x + y) + x² + y² = f(x² + y²) + x + y, мають вигляд f(y) = y - c, де c - довільна константа.

Пошаговое объяснение: