Question

Знайти похідні функцій.

Answer 1

Ответ:

3)  Найти производную степенно-показательной функции .

Сначала прологарифмируем функцию .

$\bf y=\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)^{x+1}\\\\ln y=ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)^{x+1}\\\\ln y=(x+1)\cdot ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)\\\\\dfrac{y'}{y}=1\cdot ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)+(x+1)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{tg\, x}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{tg\, x}}\cdot \dfrac{1}{cos^2x}\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)+(x+1)\cdot \dfrac{1}{tg\, x}\cdot \dfrac{1}{cos^2x}\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)+(x+1)\cdot \dfrac{1}{sin\, x\cdot cos\, x}$    

$\bf \dfrac{y'}{y}=ln\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)+(x+1)\cdot \dfrac{2}{sin\, 2x}\\\\y'=y\cdot \Big(ln(\sqrt{tg\, x})+(x+1)\cdot \dfrac{2}{sin\, 2x}\Big)\\\\\\y'=\Big(\sqrt{tg\, x}\Big)^{x+1}\cdot \Big(ln(\sqrt{tg\, x})+\dfrac{2\, (x+1)}{sin\, 2x}\Big)$              

2)  Найти производную 4-го порядка .

$\bf 2)\ \ y=5\, x^6+sinx\ \ ,\ \ \ y^{(4)}\ -\ ?\\\\y'=30\, x^5+cosx\\\\y''=(y')'=150\, x^4-sinx\\\\y'''=(y'')'=600\, x^3-cosx\\\\y^{(4)}=(y''')'=1800\, x^2+sinx$