Question

СРОЧНО ПЖ ПРОШУ Точки М, К, N, P є відповідно серединами сторін АВ, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP -

квадрат.

Answer 1

Ответ:

Довели, що чотирикутник MKNP - квадрат.

Объяснение:

Точки М, К, N, P є відповідно серединами сторін АВ, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP - квадрат.

1) Так як у квадраті всі сторони рівні, то:

АВ = ВС = CD = AD.

Отже, АМ = МВ = ВК = КС = СN = ND = DP = AP - як половини рівних сторін.

2) MK, PN - середні лінії ΔАВС і ΔACD відповідно.

За властивістю середньої лінії трикутника MK║AC, PN║AC.

⇒ MK║PN.

KN, MP - середні лінії ΔBCD і ΔBAD відповідно.

За властивістю середньої лінії трикутника KN║BD, MP║BD.

⇒ KN║MP.

Отже, MKNP - паралелограм, за означенням (паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні)

3) Розглянемо ΔPAM, ΔMBK, ΔKCN, ΔNDP.

• ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
• АМ = МВ = ВК = КС = СN = ND = DP = AP

Отже, ΔPAM = ΔMBK = ΔKCN = ΔNDP за двома катетами.

З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін:

PM = MK = KN = NP

Отже, MKNP - ромб (ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні.)

4) ΔKCN і ΔNDP - рівнобедрені та прямокутні, тоді:

∠CKN=∠CNK=∠PND=∠NPD=45°

∠CND = ∠CNK + ∠KNP + ∠PND - за аксіомою вимирювання кутів.

∠CND =  180° (разгорнутий кут)

Тоді: ∠KNP = 180° - (∠CNK + ∠PND ) = 180° - (45°+45°) = 90°

Якщо в ромбі є прямий кут, то він - квадрат.

MKNP - квадрат. Доведено.

#SPJ1