5. Концы отрезка, пересекающего плоскость, удалены от нее на расстоянии 15 см и 7 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости. (10 баллов)
Ответы
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах.
Согласно этой теореме, проекция наклонной на плоскость равна ортогональной проекции наклонной, то есть перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость.
Пусть A и B - концы отрезка, пересекающего плоскость, AB - данный отрезок, C - середина отрезка AB, O - точка пересечения плоскости и прямой AB. Тогда OC - перпендикуляр к плоскости, OA и OB - наклонные, а AC и BC - их ортогональные проекции.
Поскольку OA и OB являются катетами прямоугольных треугольников AOC и BOC, можно найти их длины по теореме Пифагора:
OA = √(15^2 + OC^2), OB = √(7^2 + OC^2).
Так как OA и OB - проекции одной и той же наклонной AB, то их длины равны:
√(15^2 + OC^2) = √(7^2 + OC^2),
15^2 + OC^2 = 7^2 + OC^2,
OC^2 = 15^2 - 7^2,
OC = √((15 - 7)(15 + 7)) = 8 см.
Таким образом, расстояние от середины отрезка AB до плоскости равно 8 см.