Question

Задача 2. Розвʼяжіть рівняння
10g4 (x + 14) - 10g4(2x- 3) =2.
Відзначимо, що для того, щоб вираз у лівій частині існував, необхідно, щоб вирази х + 14 та 2х - 3, що стоять під знаком логарифма, були додатними. Тобто
{ x + 14 > 0;
1 2x-3>0.
J х > -14;
【2>3
Отже, загалом маємо, що областю допустимих значень даного виразу є множина чисел х, що задовольняють нерівність
ょ>s
Тепер можемо скористатися властивістю
loga f - loga 9 = 108. 1.
9 1> 0,9>0.
Отже,
x+ 14
105122-3=2.
Скориставшись означенням логарифма, маємо
X + 14
2х - 3 = 16.
Тобто
X + 14 = 32.x - 48.
Звідки
31x = 62.
Розвʼязуючи це рівняння, маємо х = 2. Зауважимо, що отриманий корінь задовольняє нерівність > 3, а отже, належить ОДЗ.
Відповідь: х = 2.
Задача 3. Розвʼяжіть рівняння
1085(2 +1) + 1084+33=1.
Відзначимо, що для того, щоб вираз у лівій частині існував, необхідне виконання двох умов. По-перше, вираз х + 1, що стоїть під логарифмом, має бути додатним.

Answer 1

Тобто х + 1 > 0, звідки отримуємо х > -1. По-друге, вираз 2x + 33, що також стоїть під логарифмом, має бути додатним. Тобто 2x + 33 > 0, звідки отримуємо x > -16,5.

Отже, областю допустимих значень даного виразу є множина чисел х, що задовольняють нерівності x > -1 та x > -16,5. Оскільки обидві умови повинні бути виконані, то областю допустимих значень є множина чисел х, що задовольняють нерівність x > -1.

Тепер можемо скористатися властивістю логарифмів: loga f + loga g = loga (f * g). За цією властивістю маємо:
10^85(2 + 1) * 10^84 * 10^33 = 1,
що спрощується до
10^85 * 3 * 10^84 * 10^33 = 1,
або
3 * 10^85 * 10^84 * 10^33 = 1,
що дорівнює
3 * 10^202 = 1.

Отже, рівняння не має розв'язків, оскільки неможливо знайти число, яке піднесене до ступеня, дорівнює одиниці.

Відповідь: рівняння не має розв'язків.