Question

Вказати натуральне n таке, що n^2+492 є точним квадратом

Answer 1

Ответ:

38 або 147

Пошаговое объяснение:

n^2 + 492 = a^2

a^2 - n^2 = 492

a^2 - n^2 = (a-n)(a+n), следовательно

(a-n)(a+n) = 492

Известно, что a и n будут целыми тогда и только тогда, когда (a-n) и (a+n) будут иметь одинаковую чётность.

То есть, либо оба множителя чётные, либо оба множителя нечётные.

Они не могут быть нечётными, потому что тогда их произведение будет нечётным, а 492 чётное.

Следовательно, нам надо найти все пары чётных делителей 492:

2 * 296 = 492, a - n = 2, a + n = 296

6 * 82 = 492, a - n = 6, a + n = 82

Это все возможные пары.

Теперь, чтобы по (a-n) и (a+n) вычислить сами a и n, применяем формулу а = $\frac{(a-n) + (a+n)}{2}$, n = $\frac{(a+n) - (a-n)}{2}$, где a > n.

Подставив в формулу a - n = 2, a + n = 296, получим а = (296+2)/2 = 149, n = (296-2)/2 = 147.

Подставив в формулу a - n = 6, a + n = 82, получим а = (82+6)/2 = 44, n = (82-6)/2 = 38.

Следовательно, возможные значения n это 38 и 147:

38^2 + 492 = 44^2

147^2 + 492 = 149^2