Question

Доведіть, що 10^n- 9n-1 ділиться на 81 при будь-якому n є N (методом індукції).

Answer 1

1. Перевіряємо істинність твердження для n=1.

$10^1-9\cdot 1-1=10-9-1=0$

ділиться на 81

2. Припускаємо, що істинно для n = k (k – довільне натуральне число).

$10^k-9k-1=81m$

3. Доводимо, що істинно для n = k + 1.

$10^{k+1}-9(k+1)-1=81l$

$10^{k+1}-9(k+1)-1=10^{k}\cdot 10-9k-9-1=\\\\10^{k}\cdot 10-90k-10+81k=10\cdot(10^{k}-9k-1)+81k=\\\\81l+81k=81(l+k)$

ділиться на 81