Завдання 1. Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений, якщо С = 90°, А = 45°.
Завдання 2. Пряма, перпендикулярна до бісектриси кута А, перетинає його сторони в точках В і С, а бісектрису в точці Н. Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений.
Ответы
Відповідь:
Завдання 1:
Оскільки сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то ми можемо знайти величину кута B.
B = 180° - (A + C) = 180° - (45° + 90°) = 45°.
Тепер ми маємо кути A, B і C трикутника АВС: 45°, 45° і 90°. Оскільки кути А і B однакові, то трикутник АВС є рівнобедреним.
Завдання 2:
Нехай точка М є перетином прямої, перпендикулярної до бісектриси кута А, зі стороною АС. Оскільки Н - це точка на бісектрисі кута А, то АМ = МС.
Оскільки пряма АН перпендикулярна до сторони ВС в точці Н, то кути АНВ і АНС є прямими кутами.
Тепер розглянемо трикутники АНВ і АНС. Оскільки АМ = МС і АН є спільним для цих двох трикутників, то ми можемо зробити висновок, що АНВ і АНС - це рівні трикутники.
Отже, вони мають рівні сторони АН і АН, а також рівні кути НАВ і НАС.
З цього випливає, що кути ВАН і САН є рівними.
Оскільки кут ВАН рівний куту САН, то АВ = АС. Тому трикутник АВС є рівнобедреним.