Question

Решить задачу Коши
Срочно пожалуйста!!
2(y^3-y+xy)dy=dx, y(-2)=0

Answer 1

Решение уравнения Коши в данной задаче требует выделения переменных и последующего интегрирования. Давайте приступим.

2
(
y
3
−
y
+
x
y
)
 
d
y
=
d
x
2(y
3
−y+xy)dy=dx

Разделим обе стороны на выражение в скобках:

2
y
3
 
d
y
−
2
y
 
d
y
+
2
x
y
 
d
y
=
d
x
2y
3
dy−2ydy+2xydy=dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫
2
y
3
 
d
y
−
∫
2
y
 
d
y
+
∫
2
x
y
 
d
y
=
∫
d
x
∫2y
3
dy−∫2ydy+∫2xydy=∫dx

Интегрируем каждый член:

1
2
y
4
−
y
2
+
x
2
y
=
x
+
C
2
1
​
y
4
−y
2
+x
2
y=x+C

Теперь используем начальное условие
y
(
−
2
)
=
0
y(−2)=0 для нахождения константы
C
C:

1
2
(
0
)
4
−
(
0
)
2
+
x
2
(
0
)
=
−
2
+
C
2
1
​
(0)
4
−(0)
2
+x
2
(0)=−2+C

C
=
−
2
C=−2

Таким образом, окончательное решение уравнения Коши:

1
2
y
4
−
y
2
+
x
2
y
=
x
−
2