Question

Знайти точку Р в площині ху таку, щоб вектори АВ і
MP були
колінеарними;
Знайти точку К на осі z таку, щоб вектори АВ і МК були
перпендикулярними;
Знайти кут між векторами АВ і АМ.

Answer 1

Ответ:    

      А(5;-3;4) , В(-1;-5;7) , М(3;-1;5)

1) Найти точку Р на плоскости ХОУ такую, чтобы векторы АВ и МР были коллинеарными .   Условие коллинеарности векторов :

 $\bf \overline{a}\parallel \overline{b}\ \ \Leftrightarrow \ \ \ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}=\lambda$      

Пусть точка Р имеет координаты  Р(x;y;z) , но так как она лежит в плоскости ХОУ , то  z = 0 , то есть  P(x;y;0) .

$\bf \overline{AB}=(-6\. ;-2\, ;\, 3\, )\ \ ,\ \ \overline{MP}=(x-3\, ;\, y+1\, ;\, -5\, )\\\\\dfrac{-6}{x-3}=\dfrac{-2}{y+1}=\dfrac{3}{-5}\ ,\ \ \lambda =-\dfrac{3}{5}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-3=\dfrac{30}{3}\ ,\ \ x-3=10\ ,\ x=13\ \ ,\\\\\\y+1=\dfrac{10}{3}\ \ ,\ \ y=-1+3\dfrac{1}{3}=2\dfrac{1}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P\Big(\ 13\ ;\ 2\dfrac{1}{3}\ ;\ 0\ \Big)$  

2)  Найти точку К на оси ОZ такую, чтобы векторы АВ и МК были ортогональными .  Условие ортогональности :  

$\bf \overline{a}\parp \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \overline{a}\cdot \overline{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$    

Пусть точка К имеет координаты  К(x;y;z) , но так как она лежит на оси ОZ , то  x = 0  и  y = 0  , то есть  K(0;0;z) .  

$\bf \overline{AB}=(-6;-2;3);\ \ ,\ \ \overline{MK}=(-3;1;z-5)\\\\\overline{AB}\cdot \overline{MK}=-6\cdot (-3)-2\cdot 1+3\cdot (z-5)=18-2+3z-15=1+3z=0\\\\3z=-1\ \ ,\ \ z=-\dfrac{1}{3}\\\\K\Big(\, 0\, ;\, 0\, ;-\dfrac{1}{3}\, \Big)$