Question

Розв'яжіть рівняння:
1) sinx ∙ sin3x = cos3x ∙ cos5x;
2) sin5x ∙ cos3x − sin8x ∙ cos6x = 0;
3) sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2.

Answer 1

1) Розв'язок рівняння sinx ∙ sin3x = cos3x ∙ cos5x можна отримати шляхом застосування тригонометричних тотожностей. Перетворимо обидві сторони рівняння, використовуючи тотожність для добутку синусів і косинусів:

\[ \sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos 4x \right) \]

Тепер можна розв'язати рівняння, прирівнявши отримане вираз до нуля.

2) Розв'язок рівняння sin5x ∙ cos3x − sin8x ∙ cos6x = 0 можна отримати шляхом факторизації:

\[ \sin 3x \cdot \left( \sin 5x - \sin 8x \cdot \cos 3x \right) = 0 \]

Таким чином, можна встановити, що або \(\sin 3x = 0\), або \(\sin 5x - \sin 8x \cdot \cos 3x = 0\).

3) Розв'язок рівняння sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 можна знайти, використовуючи геометричну прогресію. Отримаємо:

\[ \sin 2x \cdot \frac{1 - \sin^{22} x}{1 - \sin^2 x} = 2 \]

Після спрощення отриманого виразу, можна знайти розв'язки рівняння.