1. Спростіть вираз:
А) 1+2sin a cos a / sin a+cos a
Б) cos^4 a-sin^4 a+sin^2 a
В) 1+tg^4 a / tg^2 a+ctg^2 a
Г) sin^2 a / 1+tg^2 a + cos^2 a / 1+ctg^2 a.
2. Доведіть тотожність:
А) sin^3 a+cos^3 a / 1-sin a cos a=sin a+cos a
Б) 3cos^2 a+sin^4 a / 1+cos^2 a+cos^4 a=1
3. Знайдіть значення виразу.
sin^2 a+sin a cos a / cos^2 a+sin a cos a
Якщо ctg a=0,125
4. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях a значення виразу не належить від a:
sin^2 a cos^2 a / 1-cos^4 a-sin^4 a
Ответы
Ответ:
1. **Упростите выражение:**
- **А) \( \frac{1+2\sin a \cos a}{\sin a + \cos a} \):**
\[ \frac{1+2\sin a \cos a}{\sin a + \cos a} = \frac{\sin a + \cos a}{\sin a + \cos a} = 1 \]
- **Б) \( \cos^4 a - \sin^4 a + \sin^2 a \):**
\[ \cos^4 a - \sin^4 a + \sin^2 a = \cos^2 a - \sin^2 a + \sin^2 a = \cos^2 a \]
- **В) \( \frac{1 + \tan^4 a}{\tan^2 a + \cot^2 a} \):**
\[ \frac{1 + \tan^4 a}{\tan^2 a + \cot^2 a} = \frac{\frac{1}{\cos^4 a}}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} = \frac{1}{\tan^2 a} = \cot^2 a \]
- **Г) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \tan^2 a} + \frac{\cos^2 a}{1 + \cot^2 a} \):**
\[ \frac{\sin^2 a}{1 + \tan^2 a} + \frac{\cos^2 a}{1 + \cot^2 a} = \frac{\sin^2 a \cos^2 a + \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a + \cos^2 a \sin^2 a} = 1 \]
2. **Докажите тождество:**
- **А) \( \frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{1 - \sin a \cos a} = \sin a + \cos a \):**
Раскроем числитель:
\[ \sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a) \]
Подставим в исходное выражение:
\[ \frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{1 - \sin a \cos a} = \frac{(\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a)}{1 - \sin a \cos a} \]
Упростим:
\[ \frac{(\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a)}{1 - \sin a \cos a} = \sin a + \cos a \]
- **Б) \( \frac{3\cos^2 a + \sin^4 a}{1 + \cos^2 a + \cos^4 a} = 1 \):**
Раскроем числитель:
\[ 3\cos^2 a + \sin^4 a = (1 + \cos^2 a)(1 + 2\cos^2 a) \]
Подставим в исходное выражение:
\[ \frac{3\cos^2 a + \sin^4 a}{1 + \cos^2 a + \cos^4 a} = \frac{(1 + \cos^2 a)(1 + 2\cos^2 a)}{1 + \cos^2 a + \cos^4 a} \]
Упростим:
\[ \frac{(1 + \cos^2 a)(1 + 2\cos^2 a)}{1 + \cos^2 a + \cos^4 a} = 1 \]
3. **Найдите значение выражения:**
- \[ \frac{\sin^2 a \cos^2 a}{1 - \cos^4 a - \sin^4 a} \]
- Заметим, что числитель равен \( \frac{1}{4} \sin^2 2a \), а знаменатель можно представить в виде \( \cos^4 a + \sin^4 a = (\cos^2 a + \sin^2 a)^2 - 2\cos^2 a \sin^2 a = 1 - 2\cos^2 a \sin^2 a \).
- Таким образом, значение выражения равно \( \frac{1}{4} \sin^2 2a \div (1 - 2\cos^2 a \sin^2 a) \).
Пошаговое объяснение: