Question

Користуючись методом розкладу, обчислити інтеграли.

Answer 1

Ответ:

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена :

$\displaystyle \bf x^2-2x+3=(x^2-2x+1)-1+3=(x-1)^2+2\\\\\\\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x+x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2+2}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2+2}}=$  

Можно для простоты понимания , какую табличную формулу применить , заменить на  t  разность  х-1  :   t = x - 1 , тогда

    $\bf \displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}}=ln\Big|\, t+\sqrt{t^2+a^2}\, \Big|+C$    .                                        

Получим окончательный ответ :

$\displaystyle \bf \int \frac{dx}{\sqrt{3-2x+x^2}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^2+2}}=ln\Big|\, x-1+\sqrt{(x-1)^2+2}\, \Big|+C=\\\\\\=ln\Big|\, x-1+\sqrt{3-2x+x^2}\, \Big|+C$