Question

Помогите пожалуйста!!!
Задание на фото
Найти площадь фигуры с помощью интеграла

Answer 1

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

   $\bf \displaystyle S=\int\limits^{a}_{b}\, f(x)\, dx=F(a)-F(b)$  

$\bf 1)\ \ y=\sqrt{x}\ ,\ \ x=1\ ,\ x=3\\\\\displaystyle S=\int\limits_1^3\, \sqrt{x}\, dx=\frac{2\, \sqrt{x^3}}{3}\Big|_1^3=\frac{2}{3}\cdot (\sqrt{3^3}-\sqrt{1^3})=\frac{2}{3}\cdot (3\sqrt3-1)$  

$\bf 2)\ \ y=x^2\ ,\ \ y=4\\\\x^2=4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\pm 2\\\\\displaystyle S=\int\limits_{-2}^2\, (4-x^2)\, dx=2=\int\limits_{0}^2\, (4-x^2)\, dx=2\cdot\Big(4x-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_0^2=\\\\\\=2\cdot \Big(8-\frac{8}{3}\Big)=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$  

$\bf 3)\ \ y=x^2\ ,\ \ y=x+1\\\\x^2=x+1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-x-1=0\ \ ,\ \ x_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt5}{2}\\\\\displaystyle S=\int\limits_{\frac{1-\sqrt5}{2}}^{\frac{1+\sqrt5}{2}}\, (x+1-x^2)\, dx=\Big(\frac{(x+1)^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_{\frac{1-\sqrt5}{2}}^{\frac{1+\sqrt5}{2}}=\\\\\\=\frac{(3+\sqrt5)^2}{8}-\frac{(1+\sqrt5)^3}{24}-\frac{(3-\sqrt5)^2}{8}+\frac{(1-\sqrt5)^3}{24}=\frac{3\sqrt5}{2}-\frac{2\sqrt5}{3}=\frac{5\sqrt5}{6}$