Question

Без формулы Байеса решите задачу в файле, легким способом с пояснениями !

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{5}{7}.$

Объяснение:

Вспомним сначала формулу

                     $P(AB)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A),$

из которой следует, что

                             $P(B|A)=\dfrac{P(A|B )\cdot P(B)}{P(A)}.$

Если нам дана полная группа событий $H_1,\ H_2,\ \ldots,\ H_n,$ то по формуле полной вероятности вероятность некоторого события A может быть посчитана так:

   $P(A)=P(A|H_1)\cdot P(H_1)+P(A|H_2)\cdot P(H_2)+\ldots +P(A|H_n)\cdot P(H_n).$

Под формулой Байеса понимается формула

                            $P(H_i|A)=\dfrac{P(A|H_i)\cdot P(H_i)}{P(A)},$

полученная из формулы в четвертой строчке заменой B на $H_i$, причем в знаменателе принято расписывать вероятность события A по формуле полной вероятности. Если речь идет о том, что нельзя пользоваться формулой полной вероятности, это одна ситуация, а если нельзя пользоваться формулой из четвертой строчки, то я бессилен. Думаю, что у нас все-таки первая ситуация.

Кстати, задачу можно упростить, уменьшая пропорционально число учеников в классе - можно считать, что у нас два отличника, один хорошист и один троечник. Заменим каждого ученика на столбец из пяти клеток. При этом отличник состоит из пяти закрашенных клеток (ведь он знает все пять тем), хорошист из трех закрашенных и двух незакрашенных, а троечник из одной закрашенной и четырех незакрашенных. Всего клеток двадцать, из них четырнадцать закрашенных. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный школьник знает произвольно выбранный вопрос совпадает с вероятностью выбрать закрашенную клетку - она равна

                                          $\dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10}=0,7.$

Итак,

                     P(выбранный школьник знает ответ)=0,7.

При этом

                       P(выбран отличник)=2/4=1/2=0,5,

           P(выбранный школьник знает ответ| он отличник)=1,

поэтому

       P(выбранный ученик отличник| он ответил)=      $\dfrac{1\cdot 0,5}{0,7}=\dfrac{5}{7}.$

Замечание. Если учитель не разрешает уменьшать численность класса, ничего страшного - просто у вас будет не двадцать клеток, а сто клеток, из них 70 закрашенных, получим не

                                             $\dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10},$

а

                                            $\dfrac{70}{100}=\dfrac{7}{10}.$