Question

Розв’яжіть нерівність: √х+1 - √3-х ≥arcsin(x^2-2x-4)

Answer 1

Для розв'язання цієї нерівності спочатку знайдемо область визначення для обох частин нерівності. Оскільки арксинус має область визначення -1 ≤ x ≤ 1, то x^2 - 2x - 4 повинно бути в цьому діапазоні:

-1 ≤ x^2 - 2x - 4 ≤ 1

Тепер розв'яжемо квадратне нерівність x^2 - 2x - 4 ≤ 1:

x^2 - 2x - 4 - 1 ≤ 0
x^2 - 2x - 5 ≤ 0

Далі знайдемо корені цієї квадратної нерівності:

D = (-2)^2 - 4*1*(-5) = 4 + 20 = 24
x1,2 = (2 ± √24)/2 = (2 ± 2√6)/2 = 1 ± √6

Тепер перевіримо значення √х+1 - √3-х та arcsin(x^2-2x-4) в області визначення -1 ≤ x ≤ 1 та в точках x = 1 + √6 та x = 1 - √6. Якщо значення √х+1 - √3-х більше або рівне значення arcsin(x^2-2x-4) в цих точках, то вони задовольняють нерівність.

При x = -1:
√(-1)+1 - √3-(-1) = 0 + √4 = 2
arcsin((-1)^2-2(-1)-4) = arcsin(1+2-4) = arcsin(-1) = -π/2

2 ≥ -π/2 - правильно

При x = 0:
√(0)+1 - √3-(0) = 1 - √3
arcsin((0)^2-2(0)-4) = arcsin(-4) - не в області визначення арксинуса

При x = 1:
√(1)+1 - √3-(1) = 2 - √2
arcsin((1)^2-2(1)-4) = arcsin(1-2-4) = arcsin(-5) - не в області визначення арксинуса

При x = 1 + √6:
√(1+√6)+1 - √3-(1+√6) ≈ 3.45
arcsin((1+√6)^2-2(1+√6)-4) ≈ arcsin(7+2√6-12-2√6-4) ≈ arcsin(-9) - не в області визначення арксинуса

При x = 1 - √6:
√(1-√6)+1 - √3-(1-√6) ≈ 0.55
arcsin((1-√6)^2-2(1-√6)-4) ≈ arcsin(7-2√6-12+2√6-4) ≈ arcsin(-9) - не в області визначення арксинуса

Таким чином, розв'язком нерівності буде інтервал -1 ≤ x ≤ -1.