Question

От конца диаметра АВ полукруга радиуса R проведена дуга ВМС, содержащая 45°, а от точки С проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра АВ в точке D. Изображение, ограниченное линиями BD и CD и дугой BMC, вращается вокруг BD. Определите объем и площадь поверхности получившегося тела.

Answer 1

Точка С1 симметрична C относительно AD.

OCDC1 -квадрат

DE =CE =R √2/2

BE =OB-OE =R(2-√2)/2

Фигура - разность конуса (высота DE, радиус основания CE) и шарового сегмента (высота BE, радиус R).

Конус Объем

Vк =1/3 DE п CE^2 =пR^3 √2/12

Шаровой сегмент Объем

Vшс =п BE^2 (R -BE/3) =пR^3 (8-5√2)/12

Искомый объем

V = Vк-Vшс =пR^3 (3√2-4)/6

Конус Площадь бок.

Sбк =п CE CD = пR^2 √2/2

Шаровой сегмент Площадь

Sшс =2п R BE =пR^2 (2-√2)

Искомая площадь - сумма боковой поверхности конуса и площади шарового сегмента.

S = Sбк+Sшс =пR^2 (2 -√2/2)