Question

Знайти розвʼязки систем рівнянь

Answer 1

4. Знайди значення параметра $a$, при якому система $\left\{\begin{array}{l}x+y=a, \\ x y=a-1\end{array}\right.$

а) має один розв'язок;

б) має два розв'язки;

в) не має розв'язків.

Розв'язок:

Спочатку знайдемо значення параметра $a$, при якому система має один розв'язок. Для цього розв'яжемо систему рівнянь:

$x+y=a$

$xy=a-1$

Підставимо $y=a-x$ з першого рівняння в друге:

$x(a-x)=a-1$

$ax-x^{2}=a-1$

$x^{2}-ax+a-1=0$

Для того, щоб це квадратне рівняння мало один розв'язок, дискримінант повинен бути рівний нулю:

$D=a^{2}-4(a-1)=a^{2}-4a+4$

Отже, $a^{2}-4a+4=0$

Це квадратне рівняння має один розв'язок $a=2$.

Тепер знайдемо значення параметра $a$, при якому система має два розв'язки. Для цього дискримінант повинен бути більше нуля:

$D=a^{2}-4(a-1) > 0$

$a^{2}-4a+4 > 0$

$(a-2)^{2} > 0$

Це нерівність виконується для будь-якого $a$, окрім $a=2$.

Отже, система має два розв'язки для будь-якого $a$, окрім $a=2$.

Якщо $D=a^{2}-4(a-1) < 0$, то система не має розв'язків. Проте це неможливо, оскільки дискримінант завжди більше або рівний нулю для квадратного рівняння.

Отже, відповіді:

а) $a=2$;

б) $a\neq2$;

в) неможливий варіант.

5. Знайди розв'язки системи рівнянь $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2 x y=9, \\ x-y=1\end{array}\right.$

Розв'язок:

З системи рівнянь $x^{2}+y^{2}+2xy=9$ та $x-y=1$ можна виразити $y$ через $x$:

$y=x-1$

Підставимо це значення $y$ в перше рівняння:

$x^{2}+(x-1)^{2}+2x(x-1)=9$

$x^{2}+x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=9$

$4x^{2}-4x-8=0$

$x^{2}-x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0$

Отримали два значення $x$: $x_{1}=2$ та $x_{2}=-1$

Підставимо ці значення $x$ в $y=x-1$:

Для $x_{1}=2 : y_{1}=2-1=1$

Для $x_{2}=-1 : y_{2}=-1-1=-2$

Отже, розв'язки системи рівнянь: $(2,1)$ та $(-1,-2)$.