Ответы
4. Знайди значення параметра , при якому система
а) має один розв'язок;
б) має два розв'язки;
в) не має розв'язків.
Розв'язок:
Спочатку знайдемо значення параметра , при якому система має один розв'язок. Для цього розв'яжемо систему рівнянь:
Підставимо з першого рівняння в друге:
Для того, щоб це квадратне рівняння мало один розв'язок, дискримінант повинен бути рівний нулю:
Отже,
Це квадратне рівняння має один розв'язок .
Тепер знайдемо значення параметра , при якому система має два розв'язки. Для цього дискримінант повинен бути більше нуля:
Це нерівність виконується для будь-якого , окрім
.
Отже, система має два розв'язки для будь-якого , окрім
.
Якщо , то система не має розв'язків. Проте це неможливо, оскільки дискримінант завжди більше або рівний нулю для квадратного рівняння.
Отже, відповіді:
а) ;
б) ;
в) неможливий варіант.
5. Знайди розв'язки системи рівнянь
Розв'язок:
З системи рівнянь та
можна виразити
через
:
Підставимо це значення в перше рівняння:
Отримали два значення :
та
Підставимо ці значення в
:
Для
Для
Отже, розв'язки системи рівнянь: та
.