Question

Коэффициенты при третьем и седьмом члене классификации бинома (1+x)^n равны.Найдите n​

Answer 1

Коэффициенты бинома (1+x)^n можно вычислить по формуле Коши-Бинома:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

где C(n, k) - коэффициент при x^k.

Так как коэффициенты при третьем и седьмом члене равны, то:

C(n, 3) = C(n, 7)

n! / (3! * (n-3)!) = n! / (7! * (n-7)!)

Упрощая выражение, получаем:

4 * 5 * 6 * (n-6) * (n-5) * (n-4) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * (n-3) * (n-4) * (n-5) * (n-6)

После сокращения и упрощения получаем:

(n-6) * (n-5) = 35

Решая квадратное уравнение, получаем два возможных значения для n: n=11 и n=-4. Однако, так как n должно быть натуральным числом, то единственным подходящим значением является n=11.