Question

Очень срочно даю 100 балов
4. Відомо, що серед значень змінних a,b,c,d,e,f,q є всі натуральні числа від 1 до 7. Знайдіть усі прості числа р, які можна подати у вигляді р=abcd + efq.

Answer 1

Ответ:

$p=179$

Пошаговое объяснение:

Заметим, что все числа среди чисел $a, b, c, d$ должны быть взаимно простыми с числами $e, f, q$. То есть, если бы, например, у $c$ и $f$ был бы общий делитель $n$, то на него бы делились и $abcd$, и $efq$, и их сумма, которая должна быть простым числом!

Теперь рассмотрим число 2. Среди чисел от 1 до 7 есть 2 числа, которые не взаимно простые с числом 2 (кроме самой двойки). Это 4 и 6.

Следовательно, 2, 4 и 6 находятся в одной группе. Теперь аналогично заметим, что 6 и 3 не взаимнопростые (их НОД равен 3). Следовательно, и 2, и 3, и 4, и 6 находятся в одной группе. Поскольку их 4, то они могут быть только в группе $a, b, c, d$, то есть, $abcd=2*3*4*6$. Тогда оставшиеся числа точно будут в группе $e,f,q$:  $efq=1*5*7$.

В этом случае $abcd+efq=2*3*4*6+1*5*7=144+35=179$, что действительно является простым числом.

Ответ: существует единственное такое число $p=179$.