Коло, яке проходить через вершини В і С прямокутного трикутника АВС, перетинає гіпотенузу АВ у точці К. Дотичні до цього кола, проведені в точках С і К, перетинаються в точці О. Доведіть, що ОА = ОС.
Ответы
Ответ:
Для доведення того, що ОА = ОС, скористаємося властивістю дотичних до кола.
За властивістю дотичних до кола, кут між дотичною і радіусом, проведеним до точки дотику, дорівнює 90 градусам. Отже, кути СОК і ОКА є прямими кутами.
Також з прямокутного трикутника АВС випливає, що кут А дорівнює 90 градусам.
Отже, кути СОК і ОКА є прямими кутами, а кут А також є прямим кутом. З цього випливає, що трикутник ОКА і трикутник СОК мають два прямих кути і однакову сторону ОК.
Згідно з властивістю трикутників з двома прямих кутами і однаковою стороною, ці трикутники є подібними.
Отже, за властивостями подібних трикутників, відповідні сторони цих трикутників пропорційні.
ОК/ОА = ОС/ОК
ОК^2 = ОА * ОС
Таким чином, ОК^2 = ОА * ОС.
З цього випливає, що ОК^2 дорівнює добутку сторін ОА і ОС.
Оскільки ОК є довжиною, то ОК^2 є квадратом відстані між точками С і К.
Отже, ОА * ОС також дорівнює квадрату відстані між точками С і К.
З цього випливає, що ОА * ОС дорівнює квадрату відстані між точками С і К.
Так як квадрат відстані між точками С і К дорівнює квадрату відстані між точками А і С, то ОА * ОС дорівнює квадрату відстані між точками А і С.
Отже, ОА * ОС дорівнює квадрату відстані між точками А і С.
З цього випливає, що ОА = ОС.