Question

помогите с объяснением!​

Answer 1

Ответ:

a) Функция имеет вид $f(x)=x-(2x)^\frac{1}{2} +2$, отличный от заявленного $f(x)=x+(ax)^\frac{1}{2} +b$

b) $f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{2x} }$

c) $f'(2)=0.5$

Решение:

$f(x)=\dfrac{x\sqrt{x}+2\sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} } ,\ x > 0$

a) Преобразуем:

$f(x)=\dfrac{x\sqrt{x}+2\sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=\dfrac{(\sqrt{x} )^2\cdot \sqrt{x}+(\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=$

$=\dfrac{(\sqrt{x} )^3+(\sqrt{2})^3}{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=\dfrac{\big(\sqrt{x} +\sqrt{2} \big)\cdot\big((\sqrt{x})^2-\sqrt{x} \cdot\sqrt{2} +(\sqrt{2} )^2\big)}{\sqrt{x} +\sqrt{2} }=$

$=(\sqrt{x})^2-\sqrt{x} \cdot\sqrt{2} +(\sqrt{2} )^2=x-\sqrt{2x} +2=\boxed{x-(2x)^\frac{1}{2} +2}$

Заметим, что функция не имеет заявленный вид $f(x)=x+(ax)^\frac{1}{2} +b$, так как для этого должно выполняться равенство $(ax)^\frac{1}{2} =-(2x)^\frac{1}{2}$, то есть $a^\frac{1}{2} =-2^\frac{1}{2}$, чего быть не может, так как показательная функций не принимает отрицательных значений.

b) Найдем производную функции:

$f'(x)=\left(x-(2x)^\frac{1}{2} +2\right)'=x'-\left((2x)^\frac{1}{2} \right)'+2'=$

$=1-\dfrac{1}{2}\cdot (2x)^{\frac{1}{2} -1}\cdot (2x)'+0=1-\dfrac{1}{2}\cdot (2x)^{-\frac{1}{2} }\cdot 2=$

$=1-(2x)^{-\frac{1}{2} }=1-\dfrac{1}{(2x)^\frac{1}{2}} =\boxed{1-\dfrac{1}{\sqrt{2x} }}$

c) Найдем требуемое значение производной:

$f'(2)=1-\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot2} }=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}=\boxed{0.5}$

Элементы теории:

Формула суммы кубов:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Производная суммы и разности:

$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

Производная сложной функции:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная степенной функции:

$(x^n)'=nx^{n-1}$