Question

В трапецию с острыми углами альфа и бета вписана окружность радиусом R. Найдите периметр и площадь этой трапеции. (с рисунком пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

Периметр трапеции равен 4R(sinα+sinβ)/sinα*sinβ;

Площадь трапеции равна 2R²(sinα+sinβ)/sinα*sinβ;

Объяснение:

∆BAH- прямоугольный треугольник.

sin∠A=BH/AB;

AB=BH/sin∠A=2R/sinα;

∆CKD- прямоугольный треугольник

sin∠D=CK/CD;

CD=CK/sin∠D=2R/sinβ;

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.

AD+BC=AB+CD.

AB+CD=2R/sinα+2R/sinβ=

=(2Rsinβ+2Rsinα)/sinα*sinβ.

P=2(AB+CD)=2(2Rsinβ+2Rsinα)/sinα*sinβ=

4R(sinβ+sinα)/sinα*cosβ.

S=BH(AD+BC)/2=(2R/2)*(2Rsinβ+2Rsinα)/sinα*sinβ=

=2R²(sinα+sinβ)/sinα*sinβ