Question

Добрый вечер. Помогите, пожалуйста, решить. 1. Найти расстояние от фокуса x^2+16y=0 до прямой, проходящей через A (1; 1) || асимптоте гиперболы x^2-y^2=32, проходящей через 1 и 3 четверти. 2. Найти уравнение окружности с центром в фокусе x^2+4y=0 и радиусом, равным фокусному расстоянию x^2-y^2=8

Answer 1

1. Расстояние от фокуса до прямой:

Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через точку A (1; 1) и асимптоты гиперболы x^2-y^2=32.

Уравнение прямой можно записать в виде y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - свободный член.

Для нахождения k подставим координаты точки A в уравнение прямой:

1 = k * 1 + b

1 = k + b

Также заметим, что асимптота гиперболы имеет вид y = x, поэтому k = 1.

Теперь подставим k и координаты точки A в уравнение прямой:

1 = 1 + b

b = 0

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку A и асимптоты гиперболы, будет иметь вид: y = x.

Теперь найдем расстояние от фокуса x^2 + 16y = 0 до этой прямой.

Фокус характеризуется координатами (0; c), где c - параметр фокусного расстояния. Для данной кривой x^2 + 16y = 0, фокусное расстояние равно |c|.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:

d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2),

где a, b, c - коэффициенты уравнения прямой, исходя из его общего вида: ax + by + c = 0.

В нашем случае уравнение прямой y = x можно переписать в виде x - y = 0,

что соответствует уравнению прямой в общем виде: x - y + 0 = 0.

Таким образом, a = 1, b = -1, c = 0.

Подставим значения в формулу и найдем расстояние:

d = |1*0 + (-1)*0 + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = 0 / sqrt(1 + 1) = 0 / sqrt(2) = 0.

Таким образом, расстояние от фокуса x^2 + 16y = 0 до прямой y = x, проходящей через A (1; 1), равно 0.

2. Уравнение окружности с центром в фокусе x^2 + 4y = 0 и радиусом, равным фокусному расстоянию x^2 - y^2 = 8.

Фокус характеризуется координатами (0; c), где c - параметр фокусного расстояния.

Для данной кривой x^2 - y^2 = 8, фокусное расстояние равно |c|.

Уравнение окружности можно записать в виде (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h; k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае центр окружности совпадает с фокусом (0; c), а радиус равен фокусному расстоянию |c|.

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

x^2 + 4y^2 = |c|^2.

Подставим фокусное расстояние из уравнения x^2 - y^2 = 8:

x^2 + 4y^2 = 8.

Таким образом, уравнение окружности с центром в фокусе x^2 + 4y = 0 и радиусом, равным фокусному расстоянию x^2 - y^2 = 8, будет иметь вид:

x^2 + 4y^2 = 8.