Question

Здравствуйте, сложные задачи по алгебре, помогите кто нибудь решить задачу пожалуйста , пункт б ​

Answer 1

Ответ:

Образует неабелеву группу.

Объяснение:

        $G=\left\{(a,b)\in R^2: a\not= 0\right\} ,\ (a_1,b_1)\circ (a_2,b_2)=(a_1a_2,a_1b_2+b_1).$

Первое замечание: операция не выводит из  G, поскольку если $a_1\not= 0$ и $a_2\not= 0,$ то $a_1a_2\not= 0.$

Проверим сначала коммутатитвность операции (если коммутативность есть, проверка наличия единичного элемента и обратного к каждому элементу упрощается).

            $(a_2,b_2)\circ (a_1,b_1)=(a_2a_1, a_2b_1+b_2)\not= (a_1a_2,a_1b_2+b_1).$

Хотя различие результатов перемножения элементов в одном и другом порядке очевидна, можем привести конкретные значения: если $a_1=1,\ a_2=2, b_1=1,\ b_2=0,$ то в одном порядке получается пара (2,1), а в другом пара (2,2). Итак, коммутативности нет, поэтому если мы докажем, что G группа, эта группа не будет абелевой.

Проверим ассоциативность операции, то есть что

             $((a_1,b_1)\circ (a_2,b_2))\circ (a_3,b_3)=(a_1,b_1)\circ((a_2,b_2)\circ (a_3,b_3)).$

Левая часть равна

           $(a_1a_2,a_1b_2+b_1)\circ (a_3,b_3)=(a_1a_2a_3,a_1a_2b_3+a_1b_2+b_1).$

Правая часть равна

            $(a_1,b_1)\circ (a_2a_3,a_2b_3+b_2)=(a_1a_2a_3,a_1(a_2b_3+b_2)+b_1).$

Мы видим, что результат получается одинаковый, то есть ассоциативность доказана (то есть доказано, что G полугруппа - если такие термины у Вас в ходу).

Проверим наличие едининого элемента, то есть наличие такой пары $(a_1,b_1),$ что для любой пары $(a_2, b_2)$ выполнено

                      $(a_1,b_1)\circ (a_2,b_2)=(a_2,b_2)\circ (a_1,b_1)=(a_2,b_2).$

            $(a_1,b_1)\circ(a_2,b_2)=(a_2,b_2)\Rightarrow (a_1a_2,a_1b_2+b_1)=(a_2,b_2);$

                                     $\left \{ {{a_1a_2=a_2} \atop {a_1b_2+b_1=b_2}} \right.\Rightarrow \left \{ {{a_1=1} \atop {b_1=0}} \right. .$

Итак, претендент на роль единичного элемента - это

                                                    $e=(1,0).$

Изменим порядок в произведении:

 $(a_2,b_2)\circ (1,0)=(a_2\cdot 1,a_2\cdot 0+b_2)=(a_2,b_2).$

Итак, мы доказали, что есть единичный элемент (то есть доказано, что G моноид).

Проверим наличие у каждого элемента обратного, то есть что для любой пары $(a_1,b_1)$ можно подобрать пару $(a_2,b_2)$ такую, что

                  $(a_1,b_1)\circ (a_2,b_2)=(a_2,b_2)\circ (a_1,b_1)=(1,0)=e.$

                      $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,a_1b_2+b_1)=(1,0)\Rightarrow$

                                     $\left \{ {{a_1a_2=1} \atop {a_1b_2+b_1=0}} \right.\Rightarrow \left \{ {{a_2=\frac{1}{a_1}} \atop {b_2=-\frac{b_1}{a_1}}}} \right. .$

Изменим порядок в произведении:

              $\left(\frac{1}{a_1},-\frac{b_1}{a_1}\right)\circ (a_1,b_1)=\left(\frac{1}{a_1}\cdot a_1,\frac{1}{a_1}\cdot b_1-\frac{b_1}{a_1}\righgt)=(1,0)=e.$

Итак, мы доказали, что у каждого элемента есть обратный. Наличие ассоциативности, единичного элемента и обратного элемента означает, что G - группа. Абелевой (то есть коммутативной) она не будет, как мы доказали в самом начале.

Замечание. В процессе рассуждений мы пользовались ассоциативностью обычных операций умножения и сложения в множестве действительных чисел.