Question

3. [4] Дана геометрическая прогрессия {bn} = {54, 18, 6, ... }.
A) Найдите знаменатель и пятый член арифметической прогрессии.
Б) Найдите сумму первых 5 членов прогрессии

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация. 1) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

2) Общий член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле  $\tt b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$, здесь b₁ - первый член и q - знаменатель геометрической прогрессии.

3) Сумма первых n членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $\tt \displaystyle S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q} .$

Решение. A) Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q - знаменателю геометрической прогрессии.

Так как

$\tt \displaystyle b_1=54, b_2=18, b_3=6, \\\\q=\frac{b_2}{b_1} =\frac{b_3}{b_2} =\frac{18}{54} =\frac{6}{18} =\frac{1}{3} .$

По формуле общего члена геометрической прогрессии найдём пятый член арифметической прогрессии:

$\tt \displaystyle b_5=b_1 \cdot q^{5-1}=54 \cdot \bigg (\frac{1}{3} \bigg )^{4}=54 \cdot \frac{1}{81} =\frac{54}{81} =\frac{2}{3} .$

Б) Найдём сумму первых 5 членов прогрессии:

$\tt \displaystyle S_5=\frac{54 \cdot \bigg (1- \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg )^5 \bigg )}{1-\dfrac{1}{3} } =\frac{54 \cdot \bigg (1-\dfrac{1}{81} \bigg )}{\dfrac{1}{3} } =3 \cdot 54 \cdot \dfrac{80}{81}=162 \cdot \dfrac{80}{81}= 2 \cdot 80=160.$

#SPJ1