Question

3 заданий помогите решить, очень срочно пожалуйста

Answer 1

Відповідь:

$sin^{3}(x)$, хоча це можна записати як $-cos^{2}(x)sin(x)+sin(x)$

Покрокове пояснення:

$y=\frac{cos^{3}(x) }{3}-cos(x)$

$(y)'=(\frac{cos^{3}(x) }{3}-cos(x))'$ Похідна різниці дорівнює різниці похідних, тому:

$(\frac{cos^{3}(x) }{3}-cos(x))'=(\frac{cos^{3}(x) }{3})'-(cos(x))'$ Перша похідна ($\frac{cos^{3}(x) }{3}$) це похідна частки, знаходимо її по формулі із зображення:

$(\frac{cos^{3}(x) }{3})'=\frac{(cos^{3}(x))'*3-(3)'*cos^{3}(x) }{3^{2}}=\frac{(cos^{3}(x))'*3-0*cos^{3}(x) }{9}=\frac{(cos^{3}(x))'*3}{9}=\frac{(cos^{3}(x))'}{3}$

Нам потрібно знайти $(cos^{3}(x))'$ - це складена похідна, тут ми бачимо похідну степеня та косинуса, в таких випадках потрібно брати зовнішню похідну (в нашому випадку це третій степень, ми розкриємо як просту похідну степеня) і множити її на іншу (похідна косинуса), приблизно ось так:

$(cos^{3}(x))'=(cos^{3}(x))' * (cos(x))'=3cos^{2}(x)*-sin(x)=-3cos^{2}(x)sin(x)$

Повернемось до нашого попереднього виразу:

$\frac{(cos^{3}(x))'}{3}=\frac{-3cos^{2}(x)sin(x)}{3}=-cos^{2}(x)sin(x)$

Повернемось до початку розв'язку:

$(\frac{cos^{3}(x) }{3})'-(cos(x))'=-cos^{2}(x)sin(x)-(-sin(x))=-cos^{2}(x)sin(x)+sin(x)$

Це і є відповідь але її можна скоротити:виносимо синус за дужки:

$-cos^{2}(x)sin(x)+sin(x)=sin(x)(-cos^{2}(x)+1)$

Тепер пригадаємо ось цю тригонометричну формулу: $sin^{2}(x)+cos^{2}=1$, Із неї : $sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$ - одже:

$sin(x)(-cos^{2}(x)+1)=sin(x)(1-cos^{2}(x))=sin(x)sin^{2}(x)=sin^{3}(x)$

Якщо є якісь питання - коментарі. Формули були взяті із формул НМТ.