Question

Решить линейное уравнение первого порядка, найти общее решение: x`+x=sint.
Если можно пожалуйста расписанное полностью решение.

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{1}{2} (\sin t-\cos t)+\dfrac{C}{e^t}$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим уравнение:

$x'+x=\sin t$

Решение уравнения будем искать в виде произведения двух ненулевых функций:

$x(t)=u(t)\cdot v(t)$

Тогда:

$(uv)'+uv=\sin t$

$u'v+uv'+uv=\sin t$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю:

$u'v+uv=0$

Разделим обе части уравнения на $v\neq 0$:

$u'+u=0$

$\dfrac{du}{dt} =-u$

$\dfrac{du}{u} =-dt$

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u} =\int \left(-dt\right)$

$\ln u =-t$

$u=e^{-t}$

$\underline{u=\dfrac{1}{e^t} }$

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

$uv'=\sin t$

$\dfrac{1}{e^t}\cdot \dfrac{dv}{dt} =\sin t$

$dv =e^t\sin t\, dt$

$\displaystyle \int dv =\int e^t\sin t\, dt$

Отдельно найдем интеграл в правой части. Дважды применим интегрирование по частям:

$\mathrm{I}=\displaystyle \int e^t\sin t\, dt=\left < \begin{array}{l}\mathrm{U}=\sin t ;\ d\mathrm{U}=\cos t\, dt\\d\mathrm{V}=e^t\, dt;\ \mathrm{V}=e^t\end{array}\right > =e^t\sin t-\int e^t\cos t\, dt=$

$\displaystyle =\left < \begin{array}{l}\mathrm{U}=\cos t ;\ d\mathrm{U}=-\sin t\, dt\\d\mathrm{V}=e^t\, dt;\ \mathrm{V}=e^t\end{array}\right > =e^t\sin t-\left(e^t\cos t-\int e^t\left(-\sin t\, dt\right)\right)=$

$\displaystyle =e^t\sin t-e^t\cos t-\int e^t\sin t\, dt=e^t(\sin t-\cos t)-\mathrm{I}$

Получили уравнение относительно искомого интеграла:

$\mathrm{I}=e^t(\sin t-\cos t)-\mathrm{I}$

$2\,\mathrm{I}=e^t(\sin t-\cos t)$

С учетом произвольной константы:

$\mathrm{I}=\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C$

Следовательно:

$\underline{v =\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C}$

Тогда, искомая функция:

$x=uv=\dfrac{1}{e^t}\cdot \left(\dfrac{1}{2} e^t(\sin t-\cos t)+C\right)$

$\boxed{x=\dfrac{1}{2} (\sin t-\cos t)+\dfrac{C}{e^t}}$

Элементы теории:

Формула интегрирования по частям:

$\displaystyle \int \mathrm{U}\, d\mathrm{V}=\mathrm{UV}-\int \mathrm{V}\, d\mathrm{U}$