Question

Довести, що 9^(n+1)−8n−9
ділиться на 16 для всіх натуральних n.

Answer 1

Ответ:

-

Объяснение:

Метод №1.

Сначала давайте разложим на множители $9^{n+1}-9$:

$9^{n+1}-9=9(9^{n+1}:9-9:9)=9(9^n-1)$.

Исследуем остатки от деления выражения $9^n$ на 16. Итак, поскольку $9^2\equiv1\,(\text{mod 16})$, а при любых натуральных $t$ $1^t=1$, $9^n$ при чётных $n$ при делении на 16 будет давать остаток 1, а следовательно, $(9^n-1)$ будет делится на 16 а из этого следует и то, что $9(9^n-1)-8n$, то есть всё выражение, делится на 16 ($8n$, при чётных $n$, также делится на 16).

Теперь рассмотрим нечётные значения $n$. При нечётных значениях $n$ $9^n\equiv9\,(\text{mod 16})$, следовательно, $9(9^n-1)\equiv9*(9-1)\equiv8\,(\text{mod 16})$.

При нечётных $n$ выражение $8n\equiv8\,(\text{mod 16})$, следовательно, всё выражение $9(9^n-1)-8n\equiv 8-8\equiv 0\,(\text{mod 16})$. То есть, при любых натуральных значениях $n$ выражение делится на 16, следовательно, задача решена!

Метод №2.

Дано $f(x)=9^{n+1}-8n-9$. Давайте вычислим значение $f(x+1)-f(x)$:

$f(x+1)-f(x)=9^{n+2}-8(n+1)-9-(9^{n+1}-8n-9)=9^{n+2}-8n-17-9^{n+1}+8n+9=(9^{n+2}-9^{n+1})-8=9^{n+1}(9-1)-8=8*(9^{n+1}-1)$.

Поскольку числа  $9^{n+1}$ и 1 всегда нечётные, то их разность будет чётной, следовательно, $8*(9^{n+1}-1)$ всегда делится на $8\times2=16$.

Ну и последний шаг. $f(0)=9-0-9=0$, что делится на 16. Поскольку разница между $f(1)$ и $f(0)$ также делится на 16, то и $f(1)$ делится на 16. Аналогично легко показать, что при любых $n$ значение функции делится на 16.

Выбирай любой метод, который нравится и который понятнее :)

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

метод мат.индукции