Question

Решить уравнение sin x + cos x=1 с помощью неравенства треугольника.

Answer 1

Ответ:

  $2\pi n,\ n\in Z;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z.$

Пошаговое объяснение:

                                          $\sin x+\cos x=1.$

Если x не принадлежит первой четверти, то  или sin x, или cos x (или оба) меньше нуля, а тогда их сумма меньше единицы.

Если $x=2\pi n\Rightarrow \sin x=0;\ \cos x=1\Rightarrow \sin x+\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$ является решением.

Если $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\Rightarrow \sin x=1;\ \cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ является решением.

При поиске решений внутри первой четверти (в силу периодичности синуса и косинуса) можно сначала предположить, что

                                                  $0 < x < \dfrac{\pi}{2},$

то есть что x  - острый угол прямоугольного реугольника. Если предположить, что его гипотенуза равна 1, катеты будут равны синусу и косинусу угла x. Неравенство треугольника утверждает, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны, поэтому сумма катетов больше гипотенузы, то есть

                                              $\sin x+\cos x > 1.$

Тем самым мы доказали, что внутри первой четверти наше уравнение решений не имеет.