Question

Найти экстремумы функции:  z=2x^2+20 y^2+4xy+16y-7

Answer 1

Необходимое условие экстремума: $frac{vartheta z}{vartheta x},frac{vartheta z}{vartheta y}in {0,phi}$
$frac{vartheta z}{vartheta x}=4x+4y \ frac{vartheta z}{vartheta y}=40y+4x+16 \ forall(x,y) in mathbb{R}^2 frac{vartheta z}{vartheta x},frac{vartheta z}{vartheta y} neq phi \ frac{vartheta z}{vartheta x}=0 <=> 4x+4y=0 \ frac{vartheta z}{vartheta y}=0 <=> 40y+4x+16=0 \ left { {{4x+4y=0} atop {4x+40y+16=0}} right. => 36y+16=0 => y=-frac{4}{9} => (x,y)=(frac{4}{9},-frac{4}{9})$

Проверка на пустое множество обязательна: возможен вариант, когда экстремум приходится на точку устранимого разрыва, (например:
$f(x)= left { {{x^2 forall x neq 0} atop {-1 x=0}} right.$) или на точку, в которой функция не дифференциируема (например: $f(x)=|x|$).