Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом альфа. Расстояние от центра вписанного шара до образующей равно d. Найдите объем конуса

Answer 1

ΔАВС - осевое сечение конуса, О - центр вписанного шара и центр окружности, вписанной в треугольник АВС,
Тогда расстояние от центра шара до образующей равно радиусу шара, равно d.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ОС - биссектриса ∠ВСА, ⇒ ∠ОСН = 1/2∠ВСА = α/2.
ΔОСН: ∠ОНС = 90°
             CH = OH · ctg(α/2)
             R = d·ctg(α|2)
ΔBCH: ∠BHC = 90°
             BH = CH · tgα = d · ctg(α|2) · tgα
Vконуса = 1/3πR²·BH
Vконуса = 1/3 · π · (d·ctg(α|2))² · d · ctg(α|2) · tgα
Vконуса = 1/3 · π · d³ ·ctg³(α/2) · tgα