Question

СРОЧНО!!!!!!!!!!!!!!!!
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0)= y0.,
·$y'+ frac{4}{x}y=3x+5$              $x_{0} =-2$        $y_{0}=- frac{1}{4}$

Answer 1

$y'+frac{4}{x} y=3x+5$
Сделаем замену.
$y=uv, y'=u'v+uv' \ u'v+uv'+frac{4}{x} uv=3x+5 \ v(u'+frac{4}{x} u)+uv'=3x+5 \ left { {{u'+frac{4}{x} u=0} atop {uv'=3x+5}} right. \ u'=-frac{4}{x} u \ frac{du}{dx} =-frac{4}{x} u \ frac{du}{u} =-frac{4dx}{x} \ lnu=-4lnx \ u=x^{-4} \ x^{-4}v'=3x+5 \ frac{dv}{dx} =3x^5+5x^4 \ intlimits{dv}= intlimits{3x^5+5x^4 dx} \ v= frac{3x^6}{6} + frac{5x^5}{5} +C \ y=(frac{x^6}{2} + x^5+C)x^{-4}=frac{x^2}{2} + x+frac{C}{x^4}$
Найдем частное решение.
$frac{(-2)^2}{2} -2+ frac{C}{(-2)^4} = -frac{1}{4} \ 2-2+ frac{C}{16} =-frac{1}{4} \ frac{C}{16} =-frac{1}{4} \ C=-4 \ y= frac{x^2}{2} + x-frac{4}{x^4}$