Question

найдите все значения a при каждом из которых уравнение x^4+4x^2-10=(a+3)*x^2 не имеет корней принадлежащих промежутку (-

Answer 1

Найдите все значения параметра а

$displaystyle (x^4+4x^2-10)=(a+3)*x^2$

не имеет корней на промежутке [-√5;2)

Преобразуем наше уравнение

$displaystyle x^4+x^2(4-a-3)-10=0 x^4+x^2(1-a)-10=0$

введем замену переменной

$displaystyle t=x^2$

тогда уравнение примет вид

$displaystyle t^2+t(1-a)-10=0$ где t≥0

Для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо чтобы D>0
найдем D

$displaystyle D=(1-a)^2+40=1-2a+a^2+40=a^2-2a+41$

посмотрим при каких а дискриминант будет больше 0

$displaystyle a^2-2a+41 textgreater 0$
очевидно что при любых а 

найдем корни уравнения

$displaystyle t_1= frac{-(1-a)+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

$displaystyle t_2= frac{-(1-a)- sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

так как t≥0
проверим наши корни

$displaystyle a-1- sqrt{a^2-2a+41} textgreater 0$

$displaystyle a-1 textgreater sqrt{a^2-2a+41}$

$displaystyle a^2-2a+1 textgreater a^2-2a+41$

очевидно что этот корень нам не подходит
проверив аналогично убедимся что второй корень нам подходит
т.е. 
$displaystyle t=x^2= frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}$

Теперь найдем корни уравнения

$displaystyle x_1= sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}}$

$displaystyle x_2=- sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}}$

так как наш промежуток [-√5;2) то положительный корень при любых а не попадет в этот промежуток.
Достаточно рассмотреть только отрицательный корень

$displaystyle - sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}} leq-sqrt{5}$
$displaystyle - sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2} } textgreater -2$

$displaystyle sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2} } geqsqrt{5}$
$displaystyle sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}} textless 2$

решим эти два неравенства
$displaystyle sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}} textless 2 a-1+ sqrt{a^2-2a+41} textless 8 sqrt{a^2-2a+41} textless 9-a a^2-2a+41 textless 81-18a+a^2$
$displaystyle a textless 2.5$

$displaystyle sqrt{ frac{a-1+ sqrt{a^2-2a+41}}{2}} geq sqrt{5} a-1+ sqrt{a^2-2a+41} geq 10 sqrt{a^2-2a+41} geq 11-a a^2-2a+41 geq 121-22a+a^2 a geq 4$


 ответ (-оо;2.5)∪[4;+oo)