Question

В прямом параллелепипеде диагонали образуют с плоскостью основания углы 45 и 60 градусов. Стороны основания равны 17 и 31. Найти диагонали этого параллелепипеда.

Answer 1

Пусть диагонали ОСНОВАНИЯ (не параллелепипеда) m и n, а высота (она же боковая сторона) h, тогда h = m*tg(60) = n*tg(45); тот есть m*корень(3) = n (и равно = h); Теперь смотрим на основание. Параллелограмм, у него стороны 17 и 31, и отношение диагоналей m/n = корень(3). Обозначим острый угол A. Тогда n лежит напротив него (а m - напротив тупого угла 180 - А).

m^2 = 17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(A);

n^2 = 17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(A);

(m/n)^2 = 3 =  (17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(A))/(17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(A));

2*17*31*cos(A) = (17^2 + 31^2)/2; (Не буду вычислять, не понадобится. На первый взгляд кажется, что нам нужен угол А, но...:))

n^2 = h^2 = (17^2 + 31^2)/2 = 625; n = h = 25; m = n*корень(3) = 25*корень(3);

d1 = n/cos(45) = 25*корень(2);

d2 = m/cos(60) = 50;