Question

Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ1проведено сечение BB1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АA1C1C. Найдите площадь сечения, если AA1 = 10 см, AD = 27 см, DC= 12 см.

Answer 1

Имеем $tt BB_1 perp (ABC),~~ DD_1perp (ABC)$ следовательно, $tt BB_1=DD_1=AA_1=10$ см и поскольку плоскость BB1D1D перпендикулярна к плоскости AA1C1C, то $tt BD perp AC$. Значит, BD - высота прямоугольного треугольника ABC и $tt BB_1D_1D$ - прямоугольник.

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов:

$tt BD^2=ADcdot DC~~~Rightarrow~~BD=sqrt{ADcdot DC}=sqrt{27cdot12}= 18$ см

Площадь сечения: $tt S_{BB_1D_1D}=BDcdot DD_1=18cdot 10=180$ см².

Ответ: 180 см².

Answer 2

( ВВ1D1 ) перпендикулярен ( АА1С1 )

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными ( взаимно перпендикулярными ), если угол между ними равен 90° →

BD перпендикулярен АС
В1D1 перпендикулярен А1С1

Боковые рёбра прямой призмы равны и перпендикулярны основаниям → АА1 = ВВ1 = СС1 = 10 см
ВВ1 перпендикулярен BD и B1D1

Основания прямой призмы параллельны и равны → BD || B1D1
Соответственно равны и высоты BD и В1D1 прямоугольных треугольников АВС и A1B1C1 ( BD = B1D1 )

Значит, заданное по условию сечение BB1D1D является прямоугольником

Рассмотрим ∆ АВС (угол В = 90°):
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу →

BD² = DC × AD
BD² = 12 × 27 = 4 × 3 × 9 × 3
BD = 18 см

Площадь сечения BB1D1D ( прямоугольника ) равна:

S = BB1 × BD = 10 × 18 = 180 см²

ОТВЕТ: S сеч. = 180 см²