Question

Пожалуйста!!!Очень надо! Пожалуйста помогите!Укажите число корней уравнения
tg2x·cos6x-sin6x=sin4x на промежутки [2пи/3 ; 4пи/3]

Answer 1

$tg2x*cos6x-sin6x=sin4x \ frac{sin2x}{cos2x} *cos6x=sin4x+sin6x$

cos6x сделать формулой утроенного угла 

$frac{sin2x}{cos2x} *(4cos^32x-3cos2x)=sin4x+sin6x$

Сокращаем

$sin2x(4cos^22x-3)=sin4x+sin6x \ sin2x(4(1-sin^2x)-3)=sin4x+sin6x \ sin2x(4-4sin^22x-3)=sin4x+sin6x \ sin2x(1-4sin^22x)=sin4x+sin6x$

Обработаем с правой частью

sin4x упростим как sin2x, a sin6x сделать формулой утроенного угла 

$sin2x(1-4sin^22x)=2sin2x*cos2x+3sin^2x-4sin^32x \ sin2x(1-4sin^22x)-2sin2x*cos2x-3sin^22x+4sin^32x=0$

выносим за скобки sin2x

$sin2x(1-4sin^22x-2cos2x-3+4sin^22x)=0 \ sin2x(-2cos2x-2)=0$

И так у нас два уравнения 

sin2x =0 и -2cos2x-2=0

$sin2x=0 2x=(-1)^k*arcsin0 + pi k \ 2x= pi k \ x_1= frac{ pi k}{2}$

$-2cos2x-2=0 \ 2cos2x=-2 \ cosx2=-1 \ 2x=arccos(-1)+2 pi n \ x_2= frac{ pi }{2} + pi n$
Для x=πk/2

при к=2: x=2π/2=π 

Корни для  x=πk/2 только π.