Question

Вычислить интеграл функции комплексного
переменного.





   ∫        Rezdz
 │z-a│=R

Answer 1

Подвинем начало координат в центр окружности, получится интеграл по окружности |z|<R от Re(z - a) dz. 
Вспоминая, что Re(z - a) = Re z - Re a, а также интеграл по окружности от dz равен нулю, получаем, что надо посчитать
$displaystyleintlimits_{|z-a|=R}mathrm{Re},z,dz=intlimits_{|z|=R}mathrm{Re},(z-a),dz=intlimits_{|z|=R}mathrm{Re},z,dz$
Параметризация: z = R * exp(i*phi), 0 <= phi <= 2pi
$displaystyleintlimits_{|z|=R}mathrm{Re},z,dz=intlimits_0^{2pi}Rcosvarphicdot iRe^{ivarphi},dvarphi=iR^2intlimits_0^{2pi}e^{ivarphi}cosvarphi,dvarphi=\=iR^2intlimits_0^{2pi}(cosvarphi+isinvarphi),cosvarphi,dvarphi=iR^2(pi+0)=iR^2pi$