Question

На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа разные, и каждое из них не больше, чем 2015. Известно, что никакое из написанных чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13.А) Приведите пример такого набора из 7 чисел.Б) Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?В) Найдите наибольшую возможную сумму чисел такого набора.

Answer 1

Чтобы ни написанные числа, ни суммы некоторых из них не делились на 13, нужно подобрать числа вида 13k+m с такими условиями:
  *1*)  k может принимать значения от 0 до 155 (число не может превышать 2015=13*155)
   *2*) m может принимать значения от 1 до 12 (остаток от деления на 13)
   *3*) сумма любой комбинации остатков m не делитсся на 13
Например, такой набор из 3х чисел:
   14 = 13*1+1 (m=1)
   41 = 13*3 + 2 (m=2)
   131 = 13*10 + 1 (m=1)
Какие бы мы ни взяли два числа из этого списка, или все три, сумма не будет делиться на 13:
14+41 = 55 = 13*4+3
14+131 = 145 = 13*11+2
41+131 = 172 = 13*13+3

А) Пример такого набора из 7 чисел (для удобства возьмём такие числа, у которых остатки m одинаковые, например m=5):
18, 31, 44, 57, 70, 83, 96

Б)  Максимум чисел в наборе может быть 12 (см. условие *2*)

В) Берем максимально возможное число - 2014 (2015 не подходит, так как оно делится на 13)  и последовательно вычитаем из него 13. Получаем 12 чисел:
2014, 2001, 1988, 1975, 1962, 1949, 1936, 1923, 1910, 1897, 1884, 1871.
Их сумма равна:
2014+2001+1988+1975+1962+1949+1936+1923+1910+1897+1884+1871=23310