Question

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, причем KL=4см, ML=6см, угол KLM=120 градусов, а диагональ LN является одновременно биссектрисой угла KLM. Найдите длину диагонали LN.

Answer 1

Сделаем рисунок. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°
Т.к. угол КLМ =120°, угол МNК=60°
LN - биссектриса.
Углы МLN=КLN=60°
В окружности равные  вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды.
Хорды МN=КN. 
Треугольник КNМ - равнобедренный с равными углами при стороне КМ.
Из   суммы углов треугольника углы при КМ равны по 60°⇒
треугольник КМN - равносторонний.
По т.косинусов найдем сторону КМ из треугольника КLМ.
КМ²=4²+6²-2*4*6*cos (120°)
KM²=76
Из треугольника МLN по т.косинусов выразим сторону MN
МN²=LМ²+LN²-2*6*LN*cos(60°)
76=36+LN²-6*LN
LN²-6*LN-40=0
Решив квадратное уравнение (вычисления сделаете сами), 
LN=10
Второй корень отрицательный и не подходит.